Различными вопросами топологии Игорь Борисович начал интересоваться с 60-годов. Сначала на мехмате был семинар по топологии совместно с В.И.Юдовичем и В.А. Какичевым, затем семинар по К-теории (1968 г.), потом, начиная с 1969 года, серия семинаров по самым различным вопросам (топологическая и алгебраическая теория узлов, теория гомотопий, теория гомологий, К-теория). Игорь Борисович первый на мехмате стал читать сначала спецкурс, а потом и общий курс по топологии. Свои лекции по топологии он затем оформил в виде замечательного пособия [65]. Наибольший интерес Игоря Борисовича в топологии был связан с К-теорией и ее применением в теории индекса операторов Фредгольма. Его первые работы в этой области [48], [50], написанные с аспирантом В.Н. Семенютой, были посвящены вычислению индекса многомерных операторов дискретной свертки и представлены на Всесоюзной топологической конференции [64]. Игоря Борисовича интересовали как общие вопросы теории индекса [55], [101], так и вычисление индекса и индекса семейств конкретных классов операторов. По применению К-теории в теории индекса его учениками написано пять кандидатских диссертаций: В.Н. Семенюта (1972), Деундяк В.М.(1976), Николенко П.В. (1983), Гордеев С.Р. (1986), Стукопин В.А. (1988).
Во введении к первой монографии по локальному методу «Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость» [85], подготовленной в соавторстве с Чиь Нгок Минем, написано, что «авторам хотелось бы отметить, что данная книга в определенном смысле дитя не родившегося родителя, так как появилась она в результате работы над вопросом о вычислении индекса семейства операторов… Авторы надеются в ближайшее время изложить результаты и этого исследования». В работах [99], [100], [118], [120], [129], [130] Игорем Борисовичем и его учениками исследовались вопросы гомотопической классификации и вычисления индекса семейств сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами (PC-коэффициентами) на простом контуре. Было замечено, что изучение разрешимости таких операторов на сложном контуре естественным образом можно редуцировать к изучению систем уравнений на отрезке [126], [128]. В цикле работ [159], [160], [164], [165], [178], [181], [185] на основе локального метода строится символическое исчисление для операторов на сложном контуре, исследуется фредгольмовость, проводится гомотопическая классификация семейств обратимых и фредгольмовых операторов, вычисляется индекс семейств, исследуется структура идеалов банаховых алгебр. Отметим, что для установления связи между семействами операторов в Lp-пространствах и L2-пространствах построена теория операторов локального типа в парах пространств, на основе которой и вычисляется индекс семейств [168], [173], [179], [184]. Этот цикл завершается работами [208], [227], где с топологической точки зрения рассматриваются банаховы алгебры бисингулярных операторов. В статье [228-доп] из юбилейного сборника теория операторов локального типа в парах пространств применяется в задаче вычисления индекса семейств многомерных операторов типа свертки.
Общеизвестна широта научных интересов Игоря Борисовича. Однако хотелось бы отметить, что последняя задачу, которую он поставил и которую он обсуждал, была следующая: применить методы К-теории и результаты об индексе семейств, полученные ранее в теории многомерных бисингулярных операторов, для нахождения новых эффективных достаточных условий применимости проекционных методов для многомерных сверток.
48. (with V.N.Semenuta) On the indices of multidimensional discrete convolutions, Mat. issledovania, Kishinev: Shtiintsa, -4:2(12), (1969), 88-94. (Russian)
50. (with V.N.Semenuta) Calculation of index of multidimensional discrete convolutions, Mat. issledovania, Kishinev: Shtiintsa, -4:4, (1969), 134-141. (Russian)
55. For the question of index, Mat. analiz i ego prilogenia, Rostov-on-Don: IRU, (1970), 99-105. (Russian)
64. (with V.M.Deundyak, V.S.Pilidi, V.N.Semenuta) On the calculation of index for some classes of operators, Tezisi dokladov 6 Vsesouznoy topologicheskoy konferentsii, Tbilisi, (1972), p.41. (Russian)
65. Introduction to topology, Rostov-on-Don: IRU, 1973, 100p. (Russian)
99. (with Chin Ngok Minh) On the index and the homotopy classification of families of singular operators with Carleman shift, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 263 (1982), no. 5, 1070-1073. English transl. in Soviet Math. Dokl. -1982. -V.25, N2, P.503-506. (Russian)
100. (with Chin Ngok Minh) On the index of families of singular operators with Carleman shift, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1982, 40p. Dep. In VINITI 20.05.82, N2558-82, RJ Mat 1982, 9B693. (Russian)
101. A defining role of the values of the natural additive mappings of the - functor on the sphere, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1982, 16p. Dep. In VINITI 20.05.82, N2560-82, RJ Mat 1982, 9A459. (Russian)
118. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Index and homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1985, 46p. Dep. In VINITI 12.05.85, N3204-85, RJ Mat 1985, 9B834. (Russian)
120. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 289 (1986), no. 3, 521-524. English transl. in Soviet Math. Dokl. -1987. -V.34, N1, P.100-103. (Russian)
126. (with V.A.Stukopin) On the one universal algebra of singular integral operators on the segment, Izv. SKNC VS, seria estestvennih nauk, 1987, no. 3, 52-55. (Russian)
128. (with V.A.Stukopin) On the one universal algebra of singular integral operators on the segment, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1987, 38p. Dep. In VINITI 23.07.87, N5327-V87, RJ Mat 1987, 11B1071. (Russian)
129. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Symbols and homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Izvestiya Visshih Uchebnih Zavedeniy, Mathematika, 1988, no. 12, 17-27. (Russian)
130. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) The calculation of index of the families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, “Dif., integral. uravneniya i komplexniy analiz”, Mejvuzovskiy sbornik nauchnih trudov, KGU-RGU, Elista, 1988, 18-28. (Russian)
159. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Homotopy classification of the families of Noether singular operators with piecewise continuous coefficients on a composite contour, Dokl. Rossiyskoy Acad. Nauk, 329 (1993), v. 5, 540-542.
160. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Ideals of a Banach Algebra of Singular Integral Operators with Piecewise Continuous Coefficients in the Space Lp on a Composite Contour. Funct. Anal. I ego pril. -1993. -V.4. -P.69-71. (Russian) English transl. in -Plenum Publishing Corporation. -1994. -Pp. 277-279.
164. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Symbol calculation and the structure of ideals of algebra of singular operators on the beam system, Sbornik “Dif. and integral. uravneniya i komplexniy analiz”, Elista: Izdat. Kalmitskogo Gos. Universiteta, 1993, 36-47. (Russian)
165. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin). The Index of Families of Noether Singular and Bisingular Integral Operators with Piecewise Continuous Coefficients on Composite Contour. Dokl. Russ. Acad. Nauk. -1994. -V.338, N2. -pp.158-161. (Russian)English transl. in -Russian Acad. Sci. Dokl. Math. -1995. -Vol. 50, N2. -Pp. 210-214.
168. (with V.M.Deundyak) Models of local theory and local method in the pairs of Lp-spaces, Rostov-na-Donu, 1994, 31p., Dep. In VINITI 08.11.94, N2525-B94, RJ Mat. 1995, N 3B558. (Russian)
173. (with V. M.Deundyak) Index of families of Noether convolution type operators in the pair of spaces, Rostov-na-Donu, 1995, 17p., Dep. In VINITI 21.04.95, N1138-V95, RJ Mat, 1995, N8B478. (Russian)
178. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) The structure of set of ideals and classification of algebras of singular integral operators in the space Lp on a composite contour, Rostov-na-Donu, 1996, 50p., Dep. In VINITI 19.03.96, N828-B96, RJ Mat. 1996, N9B584. (Russian)
179. (with V.M.Deundyak) Local method in the pairs of Lp-spaces and index, Dokladi Rus. Acad. Nauk, 349 (1996), no. 5, 592-595. (Russian)
181. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Local analysis of singular operators with piecewise-continuous coefficients on compound contour. I. Noethericity, Don. gos. universitet, Rostov-na-Donu, 1997, 60p., Dep. in VINITI 22.11.96, N3389-V96. RJ Mat. 1997, 5B689.
184. (with V.M.Deundyak) Local method in in the pairs of Lp-spaces and index and calculation of index of the families of Frefholm operators, Tezisi konferentsii po funk. analizu i uravneniyam mat. phiziki. Posvyachshaetsya 80-letiu Selima Grigorievicha Kreina, Voronej, 1997, Voronejskiy gos. universitet, p.29. (Russian)
185. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Local analysis of singular operators with piecewise-continuous coefficients on compound contour. II. Homotopy classification and calculation of index of families, Don. gos. universitet, Rostov-na-Donu, 1997, 60p., Dep. in VINITI 25.07.97, N2495-V97. RJ Mat. 1998, 2B810. (Russian)
208. (with V.M.Deundyak) Homotopy properties of families of singular and bisingular operators with PC-coefficients, Tezisi dokladov. Mejdunarodnaya konferentsiya po differentsialnim uravneniyam i dinamicheskim sistemam. Suzdal, 1-6 iulya 2002 goda. Vladimir, 2002 god, 63-65. (Russian)
227. (with V.M.Deundyak) On homotopy properties and indices of families of singular and bisingular operators with piecewise-continuous coefficients. Journal of Mathematical Sciences. Vol 126, No 6, 2005, pp. 1593-1599.
228-Доп. (с В.М.Деундяком) Локальный метод в парах Lp-пространств и семейства операторов типа свертки. Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. 2005. C. 49-55.
Во введении к первой монографии по локальному методу «Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость» [85], подготовленной в соавторстве с Чиь Нгок Минем, написано, что «авторам хотелось бы отметить, что данная книга в определенном смысле дитя не родившегося родителя, так как появилась она в результате работы над вопросом о вычислении индекса семейства операторов… Авторы надеются в ближайшее время изложить результаты и этого исследования». В работах [99], [100], [118], [120], [129], [130] Игорем Борисовичем и его учениками исследовались вопросы гомотопической классификации и вычисления индекса семейств сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами (PC-коэффициентами) на простом контуре. Было замечено, что изучение разрешимости таких операторов на сложном контуре естественным образом можно редуцировать к изучению систем уравнений на отрезке [126], [128]. В цикле работ [159], [160], [164], [165], [178], [181], [185] на основе локального метода строится символическое исчисление для операторов на сложном контуре, исследуется фредгольмовость, проводится гомотопическая классификация семейств обратимых и фредгольмовых операторов, вычисляется индекс семейств, исследуется структура идеалов банаховых алгебр. Отметим, что для установления связи между семействами операторов в Lp-пространствах и L2-пространствах построена теория операторов локального типа в парах пространств, на основе которой и вычисляется индекс семейств [168], [173], [179], [184]. Этот цикл завершается работами [208], [227], где с топологической точки зрения рассматриваются банаховы алгебры бисингулярных операторов. В статье [228-доп] из юбилейного сборника теория операторов локального типа в парах пространств применяется в задаче вычисления индекса семейств многомерных операторов типа свертки.
Общеизвестна широта научных интересов Игоря Борисовича. Однако хотелось бы отметить, что последняя задачу, которую он поставил и которую он обсуждал, была следующая: применить методы К-теории и результаты об индексе семейств, полученные ранее в теории многомерных бисингулярных операторов, для нахождения новых эффективных достаточных условий применимости проекционных методов для многомерных сверток.
48. (with V.N.Semenuta) On the indices of multidimensional discrete convolutions, Mat. issledovania, Kishinev: Shtiintsa, -4:2(12), (1969), 88-94. (Russian)
50. (with V.N.Semenuta) Calculation of index of multidimensional discrete convolutions, Mat. issledovania, Kishinev: Shtiintsa, -4:4, (1969), 134-141. (Russian)
55. For the question of index, Mat. analiz i ego prilogenia, Rostov-on-Don: IRU, (1970), 99-105. (Russian)
64. (with V.M.Deundyak, V.S.Pilidi, V.N.Semenuta) On the calculation of index for some classes of operators, Tezisi dokladov 6 Vsesouznoy topologicheskoy konferentsii, Tbilisi, (1972), p.41. (Russian)
65. Introduction to topology, Rostov-on-Don: IRU, 1973, 100p. (Russian)
99. (with Chin Ngok Minh) On the index and the homotopy classification of families of singular operators with Carleman shift, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 263 (1982), no. 5, 1070-1073. English transl. in Soviet Math. Dokl. -1982. -V.25, N2, P.503-506. (Russian)
100. (with Chin Ngok Minh) On the index of families of singular operators with Carleman shift, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1982, 40p. Dep. In VINITI 20.05.82, N2558-82, RJ Mat 1982, 9B693. (Russian)
101. A defining role of the values of the natural additive mappings of the - functor on the sphere, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1982, 16p. Dep. In VINITI 20.05.82, N2560-82, RJ Mat 1982, 9A459. (Russian)
118. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Index and homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1985, 46p. Dep. In VINITI 12.05.85, N3204-85, RJ Mat 1985, 9B834. (Russian)
120. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 289 (1986), no. 3, 521-524. English transl. in Soviet Math. Dokl. -1987. -V.34, N1, P.100-103. (Russian)
126. (with V.A.Stukopin) On the one universal algebra of singular integral operators on the segment, Izv. SKNC VS, seria estestvennih nauk, 1987, no. 3, 52-55. (Russian)
128. (with V.A.Stukopin) On the one universal algebra of singular integral operators on the segment, Rost. Universitet, Rostov-na-Donu, 1987, 38p. Dep. In VINITI 23.07.87, N5327-V87, RJ Mat 1987, 11B1071. (Russian)
129. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) Symbols and homotopy classification of families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, Izvestiya Visshih Uchebnih Zavedeniy, Mathematika, 1988, no. 12, 17-27. (Russian)
130. (with V.M.Deundyak, Chin Ngok Minh) The calculation of index of the families of one-dimensional singular operators with piecewise continuous coefficients, “Dif., integral. uravneniya i komplexniy analiz”, Mejvuzovskiy sbornik nauchnih trudov, KGU-RGU, Elista, 1988, 18-28. (Russian)
159. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Homotopy classification of the families of Noether singular operators with piecewise continuous coefficients on a composite contour, Dokl. Rossiyskoy Acad. Nauk, 329 (1993), v. 5, 540-542.
160. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Ideals of a Banach Algebra of Singular Integral Operators with Piecewise Continuous Coefficients in the Space Lp on a Composite Contour. Funct. Anal. I ego pril. -1993. -V.4. -P.69-71. (Russian) English transl. in -Plenum Publishing Corporation. -1994. -Pp. 277-279.
164. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Symbol calculation and the structure of ideals of algebra of singular operators on the beam system, Sbornik “Dif. and integral. uravneniya i komplexniy analiz”, Elista: Izdat. Kalmitskogo Gos. Universiteta, 1993, 36-47. (Russian)
165. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin). The Index of Families of Noether Singular and Bisingular Integral Operators with Piecewise Continuous Coefficients on Composite Contour. Dokl. Russ. Acad. Nauk. -1994. -V.338, N2. -pp.158-161. (Russian)English transl. in -Russian Acad. Sci. Dokl. Math. -1995. -Vol. 50, N2. -Pp. 210-214.
168. (with V.M.Deundyak) Models of local theory and local method in the pairs of Lp-spaces, Rostov-na-Donu, 1994, 31p., Dep. In VINITI 08.11.94, N2525-B94, RJ Mat. 1995, N 3B558. (Russian)
173. (with V. M.Deundyak) Index of families of Noether convolution type operators in the pair of spaces, Rostov-na-Donu, 1995, 17p., Dep. In VINITI 21.04.95, N1138-V95, RJ Mat, 1995, N8B478. (Russian)
178. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) The structure of set of ideals and classification of algebras of singular integral operators in the space Lp on a composite contour, Rostov-na-Donu, 1996, 50p., Dep. In VINITI 19.03.96, N828-B96, RJ Mat. 1996, N9B584. (Russian)
179. (with V.M.Deundyak) Local method in the pairs of Lp-spaces and index, Dokladi Rus. Acad. Nauk, 349 (1996), no. 5, 592-595. (Russian)
181. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Local analysis of singular operators with piecewise-continuous coefficients on compound contour. I. Noethericity, Don. gos. universitet, Rostov-na-Donu, 1997, 60p., Dep. in VINITI 22.11.96, N3389-V96. RJ Mat. 1997, 5B689.
184. (with V.M.Deundyak) Local method in in the pairs of Lp-spaces and index and calculation of index of the families of Frefholm operators, Tezisi konferentsii po funk. analizu i uravneniyam mat. phiziki. Posvyachshaetsya 80-letiu Selima Grigorievicha Kreina, Voronej, 1997, Voronejskiy gos. universitet, p.29. (Russian)
185. (with V.M.Deundyak, V.A.Stukopin) Local analysis of singular operators with piecewise-continuous coefficients on compound contour. II. Homotopy classification and calculation of index of families, Don. gos. universitet, Rostov-na-Donu, 1997, 60p., Dep. in VINITI 25.07.97, N2495-V97. RJ Mat. 1998, 2B810. (Russian)
208. (with V.M.Deundyak) Homotopy properties of families of singular and bisingular operators with PC-coefficients, Tezisi dokladov. Mejdunarodnaya konferentsiya po differentsialnim uravneniyam i dinamicheskim sistemam. Suzdal, 1-6 iulya 2002 goda. Vladimir, 2002 god, 63-65. (Russian)
227. (with V.M.Deundyak) On homotopy properties and indices of families of singular and bisingular operators with piecewise-continuous coefficients. Journal of Mathematical Sciences. Vol 126, No 6, 2005, pp. 1593-1599.
228-Доп. (с В.М.Деундяком) Локальный метод в парах Lp-пространств и семейства операторов типа свертки. Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. 2005. C. 49-55.
